Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số

 BÁO CÁO KẾT QUẢ 
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
 1. Lời giới thiệu :
Trong chương trình môn Toán bậc THPT, các em học sinh được học đạo hàm từ cuối học kỳ 
2 của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong những kiến thức về đạo hàm thì chỉ biết 
vận dụng công thức để giải các bài toán về tính đạo hàm, hoặc khảo sát hàm số, còn việc ứng 
dụng đạo hàm để khai thác và giải các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số thì lại 
tỏ ra lúng túng, bỡ ngỡ.
 Trong các kỳ thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp tỉnh, ngoài các câu hỏi liên quan trực 
tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy 
hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán như : xét tính đơn điệu của hàm số, giải 
phương trình, bất phương trình, tìm cực trị ... Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn 
cho cả thầy và trò trong các giờ lên lớp. Trong các giờ học các em thường bị động trong 
nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa 
hiểu được bản chất của vấn đề, chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng ứng 
dụng của đạo hàm vào giải toán, các em luôn đặt ra câu hỏi: “Tại sao nghĩ và làm được như 
vậy?’’. Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy, việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm số 
cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết. Muốn làm tốt được điều đó 
người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên, 
vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách lôgic bản chất của toán học. Từ đó giúp các em 
có sự say mê trong việc học môn Toán - môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên. 
Để toán học trở nên gần gũi và là sự yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê đối với các em 
học sinh.
 Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khai thác ứng 
dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số. Vì vậy, tôi chọn đề tài “ỨNG 
DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” để phần nào giúp các 
em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ và cách học tích cực hơn đối với 
dạng toán này.
Thông qua việc giảng dạy khai thác một số bài tập có sử dụng nhiều cách khác nhau, từ các 
ví dụ đơn giản, các bài toán thường gặp dần dần giải các bài toán phức tạp hơn nhằm tạo cho 
học sinh cảm hứng và thói quen tự học, tự nghiên cứu cho các em. Hy vọng đề tài này sẽ 
giúp các em học sinh học tập môn Toán phần tính đơn điệu của hàm số được tốt hơn.
 2 - Học sinh chưa biết cách làm một số bài toán đơn giản, lời giải trình bày dài dòng, 
rắc rối, không chặt chẽ. 
 - Học sinh vận dụng chưa thành thạo phương pháp khảo sát hàm số để tìm các khoảng 
đơn điệu của hàm số. 
 - Học sinh chưa vận dụng được định lý dấu của tam thức bậc hai để áp dụng vào xét 
tính đơn điệu của hàm số.
 - Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức 
mới. 
 Kết quả định lượng:
 điểm < 5 5 £ điểm < 8 8 £ điểm £ 10
 Lớp Sĩ số
 SL % SL % SL %
 12A1 36 20 55,5 14 39 2 5,5
 12A2 38 24 63,1 14 36,9 0 0
7.1.1. HỆ THỐNG KIẾN THỨC
 1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng hoặc một đoạn.
+ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 K : x1 x2 f (x1) f (x2 ) 
+ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1, x2 K : x1 x2 f (x1) f (x2 )
2.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên 
 khoảng K.
 + Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f '(x) 0,x K .
 + Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f '(x) 0,x K .
3.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
 + Nếu f '(x) 0,x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.
 + Nếu f '(x) 0,x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.
 + Nếu f '(x) 0,x K thì hàm số không đổi trên tập K.
• Chú ý: 
 4 ax b
- Đối với hàm phân thức y thì :
 cx d
 + Hàm số nghịch biến trên a;b y ' 0,x (a;b) . 
 + Hàm số đồng biến trên a;b y ' 0,x (a;b) .
• Nhắc lại một số kiến thức liên quan:
 Cho tam thức f (x) ax2 bx c(a 0)
 a 0
 a) f (x) 0,x R 
 0
 a 0
 b) f (x) 0,x R 
 0
 a 0
 c) f (x) 0,x R 
 0
 a 0
 d) f (x) 0,x R 
 0
• Chú ý : Nếu tìm bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng a;b :
Bước 1: Đưa bất phương trình f '(x) 0 (hoặc f '(x) 0,x (a;b) ) về dạng g(x) h(m) (hoặc 
 g(x) h(m),x (a;b) ).
Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên khoảng a;b .
Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham 
 số m.
7.1. 3. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: 
DẠNG 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên:
Phương pháp : Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị của hàm số .
Bài toán 1: Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên 
khoảng nào dưới đây?
 6 x 1 x 1
 A. y B. y x3 x C. y x3 3x D. y 
 x 2 x 3
 Lời giải
 Vì y x3 x y 3x2 1 0, x ¡ . Vậy chọn B
 x 2
Bài toán 2: Cho hàm số y . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 x 1
 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
 1; 
 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 
 Lời giải
 Tập xác định: ¡ \ 1 .
 3
 Ta có y ' 0, x ¡ \ 1 . Vậy chọn D.
 x 1 2
Bài toán 3: Cho hàm số y x3 3x2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;2 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 
 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
 2; 
 Lời giải
 2 x 0
 Ta có y 3x 6x ; y 0 .
 x 2
 Lập bảng biến thiên rồi suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 0;2 .Vậy chọn D
Bài toán 4 : Hỏi hàm số y 2x4 1 đồng biến trên khoảng nào?
 1 1 
 A. ;0 . B. ; . C. 0; . D. ; .
 2 2 
 Lời giải
 Chọn C
 y 2x4 1. Tập xác định: D ¡
 Ta có: y 8x3 ; y 0 8x3 0 x 0 suy ra y 0 1
 8 Bài toán 3: Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y m2 1 x3 m 1 x2 x 4 
nghịch biến trên khoảng ; .
 A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
 Lời giải
 TH1: m 1. Ta có: y x 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên 
 hàm số luôn nghịch biến trên ¡ . Do đó nhận m 1.
 TH2: m 1. Ta có: y 2x2 x 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số 
 không thể nghịch biến trên ¡ . Do đó loại m 1.
 TH3: m 1. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ; y 0 x ¡ , dấu “=” 
 chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên ¡ .
 3 m2 1 x2 2 m 1 x 1 0 , x ¡
 2 2 1 m 1
 a 0 m 1 0 m 1 0 1
 2 1 m 1. 
 0 m 1 3 m2 1 0 m 1 4m 2 0 m 1 2
 2
 Vì m ¢ nên m 0 .
 Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.Vậy chọn C
Bài toán 4: Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số hàm số 
 1
 y m2 m x3 2mx2 3x 2 đồng biến trên khoảng ; ?
 3
 A. 4 . B. 5 . C. 3 . D. 0 .
 Lời giải
 y m2 m x2 4mx 3
 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; y 0 với x ¡ .
 + Với m 0 ta có y 3 0 với x ¡ Hàm số đồng biến trên khoảng ; .
 3
 + Với m 1 ta có y 4x 3 0 x m 1 không thảo mãn.
 4
 m 1
 m 1 m2 m 0 
 + Với ta có y 0 với x ¡ m 0 3 m 0 .
 2 
 m 0 m 3m 0 
 3 m 0
 10 A. 0 B. 6 C. 3 D. Vô số
 Lời giải
 3m 1
 Tập xác định D ¡ \ 3m; y .
 x 3m 2
 x 1
 Hàm số y nghịch biến trên khoảng 6; khi và chỉ khi:
 x 3m
 1
 y 0 3m 1 0 m 1
 3 2 m .
 6;  D 3m 6 3
 m 2
 Vì m ¢ m 2; 1;0. Vậy chọn C
 mx 4m
 Bài toán 8: Cho hàm số y với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị 
 x m
 nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S .
 A. 4 B. Vô số C. 3 D. 5
 Lời giải
 m2 4m
 D ¡ \ m ; y .
 x m 2
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi 
 y 0,x D m2 4m 0 0 m 4 .
 Mà m ¢ nên có 3 giá trị thỏa mãn. Vậy chọn C.
 Dạng 4. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài toán 1: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số :
 y x3 6x2 4m 9 x 4 nghịch biến trên khoảng ; 1 là
 3 3 
 A. ; B. 0; C. ;0 D. ; 
 4 4 
 Lời giải
 Ta có y 3x2 12x 4m 9
 Để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 thì y 3x2 6x 4m 9 0 x ; 1 
 4m 3x2 12x 9 x ; 1 4m min f x , f x 3x2 12x 9
 ; 1
 12 Lời giải
 Tập xác định D R , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình
 14
 mx2 14mx 14 0,x 1, tương đương với g(x) m (1)
 x2 14x
 14
 Dễ dàng có được g(x) là hàm tăng x 1; , suy ra min g(x) g(1) 
 x 1 15
 14
 Kết luận: (1) min g(x) m m .Vậy chọn A.
 x 1 15
Bài toán 4: Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y x3 3mx2 m nghịch biến 
trên khoảng 0;1 ?
 1 1
 A. m 0 . B. m . C. m 0 . D. m .
 2 2
 Lời giải
 2 x 2m
 y ' 3x 6mx 0 
 x 0
 1
 Hàm số y x3 3mx2 m nghịch biến trên khoảng 0;1 2m 1 m . Vậy chọn 
 2
 D
Bài toán 5:Tập hợp các giá trị m để hàm số y mx3 x2 3x m 2 đồng biến trên 3;0 
là
 1 1 1 1 
 A. ;0 . B. ; . C. ; . D. ; .
 3 3 3 3 
 Lời giải
 TXĐ: D ¡
 Ta có y' 3mx2 2x 3. Hàm số đồng biến trên khoảng 3;0 khi và chỉ khi:
 y' 0 ,x 3;0 (Dấu '' '' xảy ra tại hữu hạn điểm trên 3;0 )
 3mx 2 2x 3 0 , x 3;0 
 2x 3
 m g x x 3;0 
 3x2
 14 1
 y 3x2 m 
 x6
 1
 Hàm số đồng biến trên 0; khi và chỉ khi y 3x2 m 0,x 0; 
 x6
 1 1
 3x2 m,x 0; . Xét hàm số g(x) 3x2 m , x 0; 
 x6 x6
 6 6(x8 1) x 1
 g (x) 6x 7 7 , g (x) 0 
 x x x 1(loai)
 Bảng biến thiên:
 Dựa vào BBT ta có m 4 , suy ra các giá trị nguyên âm của tham số m là 4; 3; 2; 1
 Vậy chọn B.
 m
Bài toán 3: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 1 đồng biến trên 
 x 2
mỗi khoảng xác định của nó là
 A. 0;1 . B. ;0 . C. 0; \ 1 . D. ;0 .
 Lời giải
 • Tập xác định: D ¡ \ 2.
 Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi:
 m
 y ' 0,x D 1 0,x D
 x 2 2
 m x 2 2 ,x D
 Xét hàm số f x x 2 2 ta có:
 f ' x 2x 4 f ' x 0 x 2
 Bảng biến thiên:
 16 Ta có: hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi y 0 với 
 x 0; 
 3 3
 x3 m 0,x 0; x3 m,x 0; 
 2x2 2x2
 3
 m Min f x ,với f x x3 1 .
 0; 2x2
 3
 Xét hàm số f x x3 ,x 0; .
 2x2
 3
 Ta có f x 3x2 , f x 0 x 1.
 x3
 Bảng biến thiên
 x 0 2 
 f x – 0 
 f x 5
 2
 5 5
 Từ bảng biến thiên ta có m m . Do m nguyên âm nên m 1 hoặc m 2 .
 2 2
 Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số m thỏa mãn điều kiện bài ra. Vậy chọn A.
 ln x 4
Bài toán 6: Cho hàm số y với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên 
 ln x 2m
dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng 1;e . Tìm số phần tử của S .
 A. 3 B. 2 C. 1 D. 4
 Lời giải
 ln x 4
 y f x 
 ln x 2m
 Đặt t ln x , điều kiện t 0;1 
 t 4 2m 4
 g t ; g t 
 t 2m t 2m 2
 18 2 x 1 x 3
 .. Vậy chọn B
 1 2 x 4 2 x 1
Bài toán 2: Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu như sau:
 Hàm số y f x2 2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
 A. 2;1 . B. 4; 3 . C. 0;1 . D. 2; 1 .
 Lời giải
 2 2 2
 Ta có: Đặt: y g(x) f x 2x ; g (x) f (x 2x) 2x 2 . f (x 2x)
 g (x) 0 2x 2 . f (x2 2x) 0
 x 1
 x 1 
 x 1 2
 2 
 2x 2 0 x 2x 2(VN) 
 x 1 2
 f (x2 2x) 0 x2 2x 1 
 x 1
 x2 2x 3 
 x 3
 (Trong đó: x 1 2 ; x 1 2 là các nghiệm bội chẵn của PT: x2 2x 1 )
 + Ta có bảng biến thiên
 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số y f x2 2x nghịch biến trên khoảng 2; 1 .
 Chú ý: Cách xét dấu g (x) :
 20