Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển năng lực mô hình hoá toán học cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn theo SGK mới

 PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
 1. Lí do chọn đề tài 
 Nghị quyết số 29 – NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành 
Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã xác 
định: “ Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi 
dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức 
sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành; lý 
luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo 
dục xã hội”. 
 Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể 2018, trong dạy Toán đã đề ra 
một trong những mục tiêu chung là hình thành và phát triển các năng lực toán học 
cho HS, bao gồm: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng học lực MHH toán 
học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử 
dụng công cụ, phương tiện học toán, . Như vậy, năng lực MHH toán học hay 
giải quyết vấn đề toán học gắn với thực tiễn được chú trọng và đề cao trong tất cả 
các năng lực toán học cần có ở HS, tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, áp dụng 
toán học vào đời sống thực tiễn. 
 Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất 
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời 
sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, 
góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Để theo 
kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần phải đào tạo 
những con người lao động có hiểu biết, có kĩ năng và ý thức vận dụng những thành 
tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những kết quả thiết thực. 
Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn đóng vai trò quan trọng trong quá trình tạo 
động cơ và hình thành tri thức toán học cho HS; liên hệ thực tiễn giúp HS học tập 
toán một cách tích cực, chủ động và có ý nghĩa hơn. Để làm sáng tỏ mối liên hệ 
này, người GV dạy toán cần có năng lực vận dụng những khái niệm toán học ở 
trường phổ thông để thiết kế và mô tả các mô hình toán học trong cuộc sống; HS 
cần hiểu và vận dụng những kiến thức toán học đã học để giải thích, dự đoán, kiểm 
chứng và MHH các vấn đề trong cuộc sống. 
 Trong dạy học toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng có thể là 
hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc 
mô hình ảo trên máy tính điện tử. MHH trong dạy học toán là quá trình giúp HS 
tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ 
toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin, của các phần mềm dạy học. Vận 
dụng MHH toán học trong giảng dạy sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học 
tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi “môn Toán có ứng dụng gì trong thực 
tiễn và có vai trò quan trọng gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn”, điều 
này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu cho HS. 
 1 - Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá tính 
khả thi, hiệu quả của việc vận dụng phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở 
trường THPT. 
 5. Phương pháp nghiên cứu 
 Nghiên cứu lý luận, điều tra, khảo sát, phân tích tổng hợp, thực nghiệm sư 
phạm. 
 6. Thời gian thực hiện 
 - Từ tháng 8 đến tháng 10/2022 nghiên cứu cơ sở lý luận, các kiến thức liên 
quan đến BPT bậc nhất hai ẩn; hệ BPT bậc nhất hai ẩn. 
 - Từ tháng 11 đến tháng 12/2022: Viết đề cương sáng kiến kinh nghiệm. 
 - Từ tháng 12/2022 tháng 04/2023: Triển khai viết sáng kiến, thực nghiệm, 
đánh giá kết quả, rút kinh nghiệm và hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm. 
 7. Tính mới của đề tài 
 - Góp phần làm rõ thêm vai trò quan trọng của việc vận dụng phương pháp 
MHH để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn. 
 - Đề xuất được những quan điểm cơ bản đối với việc thiết kế một số tình 
huống MHH trong dạy học Toán chủ đề hệ BPT bậc nhất hai ẩn; xây dựng hệ 
thống bài toán có nội dung thực tiễn và đưa ra được những gợi ý, những chỉ dẫn về 
vận dụng phương pháp MHH để giải quyết hệ thống bài tập đó. 
 - Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung hệ BPT bậc nhất hai ẩn nói riêng 
và Đại số lớp 10 ở trường THPT nói chung, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn 
của toán học trong chương trình môn Toán ở trường THPT. 
 8. Tính khả thi khi thực hiện 
 Đề tài này đã được áp dụng cho các em HS lớp 10 trường THPT Nam Đàn 2 
trong năm học 2021 - 2022 và đặc biệt là trong học kì 1 năm học 2022 - 2023. 
 3 1.1.2. Năng lực mô hình hoá toán học. 
 Năng lực MHH toán học là khả năng cá nhân về phiên dịch các vấn đề thực 
tiễn thông qua phương tiện ngôn ngữ viết sang ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu, bảng 
biểu, đồ thị 
 1.1.3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học. 
 Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá 
trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xúc cảm để giải quyết các tình 
huống mà ở đó không có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường. 
 1.1.4. Năng lực giao tiếp toán học. 
 Năng lực giao tiếp toán học là khả năng cá nhân sử dụng ngôn ngữ toán học 
để tiếp nhận, chuyển tải các ý tưởng, kiến thức, đưa ra lập luận, chứng minh, phản 
ánh, thảo luận trong quá trình giao tiếp để đạt được mục tiêu dạy học. 
 1.1.5. Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. 
 Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện dạy học toán là khả năng của cá 
nhân hiểu, biết sử dụng, bảo quản các công cụ, phương tiện khoa học để đạt được 
mục tiêu dạy học. 
 1.2. Mô hình hoá toán học và năng lực mô hình hoá toán học 
 1.2.1. Mô hình hoá toán học 
 MHH toán học là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán 
học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học. Cụ thể, MHH toán học 
là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học và ngược 
lại, cùng với các yếu tố liên quan đến quá trình đó như: xây dựng lại tình huống 
thực tiễn, lựa chọn mô hình toán học phù hợp, làm việc trong một môi trường toán 
học, giải thích, đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tiễn và điều chỉnh 
mô hình cho đến khi có được kết quả hợp lí. 
 1.2.2. Năng lực mô hình hoá toán học 
 Theo chương trình giáo dục phổ thông môn toán năm 2018, năng lực MHH 
toán học đối với HS cấp THPT thể hiện qua việc: 
 - Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, 
hình vẽ, bảng biểu, đồ thị,...) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực 
tiễn. 
 - Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập. 
 - Lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính 
toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không). Đặc biệt, nhận biết được cách 
đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả 
thiết, tổng quát hoá,...) để đưa đến những bài toán giải được. 
 5 thực tiễn. Theo chúng tôi cho rằng: “Khả năng xây dựng mô hình toán học của một 
tình huống thực tế, được coi là cơ sở của việc toán học hóa các tình huống thực tế”. 
Từ đó có thể hiểu quá trình toán học hóa vấn đề thực tế là quá trình đưa vấn đề đó 
về dạng toán học. 
 Đối với HS THPT, hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế diễn ra khi HS 
đối mặt với các tình huống thực tiễn có ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc sống cá nhân. 
Các em HS phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng toán học phổ thông 
để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình. Cụ thể là trước 
tình huống đối mặt trong cuộc sống, các em phải liên tưởng tới những tri thức toán 
học phù hợp để từ đó đặt ra được bài toán và tìm cách giải quyết nhằm thỏa mãn 
nhu cầu của mình. 
 1.4.2. Giai đoạn 2: Giải bài toán 
 Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải bài toán, 
bao gồm cả sự hỗ trợ của công nghệ thông tin. Yêu cầu HS lựa chọn, sử dụng các 
phương pháp và công cụ toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề sử 
dụng ngôn ngữ toán học. Ở giai đoạn này công nghệ thông tin sẽ hỗ trợ HS phân 
tích dữ liệu, thực hiện tính toán phức tạp và đưa ra đáp số của bài toán. 
 1.4.3. Giai đoạn 3: Hiểu và thông dịch 
 Hiểu lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn (bài toán ban 
đầu). Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán trong thực tiễn, trong đó cần nhận ra 
những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào các tình huống 
thực tiễn. 
 1.4.4. Giai đoạn 4: Đối chiếu thực tế 
 Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học cũng 
như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, 
đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng. Đây là giai đoạn đòi hỏi HS có 
hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các 
vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Từ đó, xem lại các phương pháp và công cụ toán 
học đã sử dụng; xem lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến mô 
hình cũng như lời giải của bài toán. 
 1.5. Vai trò của hoạt động mô hình hoá toán học trong dạy học toán 
 1.5.1. Tăng cường mối liên hệ toán học với thực tiễn 
 MHH là phương pháp xây dựng và cải tiến một mô hình toán học nhằm diễn 
đạt và mô tả các bài toán thực tiễn. Qua các nghiên cứu thực nghiệm, các nhà giáo 
dục toán học đã nhận ra được tầm quan trọng của phương pháp MHH trong quá 
trình dạy học toán ở trường phổ thông. Phương pháp này giúp HS làm quen với 
việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn 
bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương pháp toán học phù hợp. Qua 
đó, giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. Quá trình MHH giúp 
 7 Quá đó đồng thời rèn luyện cho các em năng lực tư duy lôgíc và tư duy trừu tượng. 
Rèn luyện khả năng sáng tạo, đó là việc tiếp cận kho tàng tri thức mới, sử dụng 
những phương pháp và kỹ thuật mới trong phân tích và giải quyết vấn đề. 
 2. Tổng quan kiến thức về bất phương trình; hệ bất phương trình bậc 
nhất hai ẩn 
 2.1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 
 2.1.1. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn 
 - BPT bậc nhất hai ẩn xy, là BPT có một trong các dạng ax+ by c; 
 ax+ by c; ax+ by c; ax+ by c. Trong đó abc,, là những số cho trước với 
 ab, không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn. 
 - Cho BPT bậc nhất hai ẩn ax+ by c (*). 
 Mỗi cặp số ( xy00; ) sao cho ax00+ by c được gọi là một nghiệm của BPT 
(*). 
 - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của 
BPT (*) được gọi là miền nghiệm của BPT đó. 
 - Nghiệm và miền nghiệm của các BPT ax+ by c , ax+ by c và 
 ax+ by c được định nghĩa tương tự. 
 2.1.2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 
 Các bước biểu diễn miền nghiệm của BPT ax+ by c trong mặt phẳng tọa 
độ O xy . 
 Bước 1. Vẽ đường thẳng d:. ax+= by c Đường thẳng d chia mặt phẳng 
 thành hai nửa mặt phẳng. 
 Bước 2. Lấy một điểm M( x00; y ) không nằm trên d (ta thường lấy gốc tọa 
độ O nếu c 0 ). Tính ax00+ by và so sánh với c . 
 Bước 3. Kết luận 
  Nếu ax00+ by c thì nửa mặt phẳng (không kể d ) chứa điểm M là miền 
nghiệm của BPT 
  Nếu ax00+ by c thì nửa mặt phẳng (không kể d ) không chứa điểm M là 
miền nghiệm của BPT . 
 2.2.2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 
 - Miền nghiệm của hệ BPT là giao các miền nghiệm của các BPT trong hệ. 
 - Để biểu diễn miền nghiệm của hệ BPT bậc nhất hai ẩn, ta làm như sau: 
 + Trong cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi BPT trong 
hệ bằng cách gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó. 
 + Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm. 
 9 3.1. Về bài toán nội dung mô hình hoá chủ đề hệ bất phương trình bậc 
nhất hai ẩn. 
 Như đã trình bày ở trên, Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, phản ánh thực 
tiễn và có ứng dụng to lớn vào thực tiễn. Từ đó, ta có thể thấy mối quan hệ mật 
thiết giữa Toán học và thực tiễn. Việc liên hệ Toán học với thực tiễn trong chương 
trình và SGK trước đây cũng như sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000 chưa được quan 
tâm một cách đúng mức và thường xuyên và đến SGK theo chương trình giáo dục 
2018 mới bắt đầu chú trọng và đưa vào một số bài toán áp dụng vào thực 
tiễn.Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ chú ý 
tập trung làm rõ những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học nhưng cũng 
chưa đáp ứng được so với yêu cầu; số lượng các vấn đề lí thuyết, các ví dụ, bài tập 
Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK Đại số và Giải tích ở bậc 
THPT để HS học và rèn luyện còn rất ít. Cụ thể về chủ đề hệ BPT bậc nhất hai ẩn: 
 1) Đối với SGK chỉnh lí hợp nhất năm 2000, rất ít thấy các bài tập và các 
vấn đề toán học gắn liền với thực tiễn. Chẳng hạn, trong cuốn Đại số và Giải tích 
11 (1999) chỉ tìm thấy: bài tập 8, 9, 10 (tr.10-11); ví dụ (tr.95); bài tập 7 (tr.96) và 
ví dụ 4 (tr.99). 
 2) Đối với SGK theo chương trình giáo dục 2018, đã có nhiều bài toán ứng 
dụng thực tế trong đời sống hàng ngày. 
 - Bộ sách “ Cánh Diều” của nhà xuất bản Đại học Sư phạm 
 Mở đầu bài học là một lời dẫn liên quan đến bài toán thực tế (quảng cáo sản 
phẩm trên truyền hình là một hoạt động quan trọng trong kinh doanh của các doanh 
nghiệp) trang 25. Ở mục III (áp dụng vào bài toán thực tiễn) SGK đưa ra hai bài 
toán, một bài tìm giá trị lớn nhất (số lần xuất hiện quảng cáo của công ty là nhiều 
nhất) và một bài tìm giá trị nhỏ nhất (chỉ phí mua nguyên liệu là ít nhất) trang 28, 
29. Phần bài tập SGK cũng đưa ra một bài toán về tiền lãi cao nhất (trang 31). 
 - Bộ sách “ Kết nối tri thức với cuộc sống” của nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam. 
 Mở đầu là một bài toán thực tế tìm giá trị lớn nhất (Nếu là chủ cửa hàng thì 
em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu về được là lớn 
nhất- trang 26). Bài toán vận dụng là một bài toán thực tế về giá trị lớn nhất - trang 
30. Phần bài tập có bài 2.6 tìm giá trị nhỏ nhất (chi phí ít nhất – trang 30). 
 - Bộ sách “ Chân trời sáng tạo” của nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam. 
 Mục tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên một 
miền đa giác đưa ra hai ví dụ về tìm giá trị lớn nhất: ví dụ 4 (Bác Năm cần trồng 
bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất), ví dụ 5 (Hãy lập 
phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất). Sau hai ví dụ là 
một bài tập vận dụng về tìm giá trị lớn nhất (Người đó nên pha chế bao nhiêu lít 
nước cam mỗi loại để có doanh thu cao nhất). Phần bài tập có 5 bài thì 4 bài (bài 2, 
3, 4, 5) đều là bài toán thực tế (trang 38). 
 11 Biểu đồ 1.3. 
 Đánh giá của HS về mức độ thường xuyên giảng giải mối liên hệ toán học 
 với thực tiễn của GV 
 0% 11.86%
 Mức độ Số HS 
Rất thường xuyên 30 13.83%
 Thường xuyên 35 
 Thỉnh thoảng 188 74.31%
 Không bao giờ 0 Rất thường xuyên Thường xuyên
 Thỉnh thoảng Không bao giờ
 Tổng số 253 
 Dựa vào thống kê trên chúng tôi thấy GV đã có những sự quan tâm nhất 
 định đến việc giảng dạy về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn, nhưng sự quan 
 tâm này còn dừng lại ở mức độ thấp, mức độ chưa thường xuyên. 
 (4) Thống kê ý kiến của HS về mối liên hệ giữa chủ đề hệ BPT bậc nhất hai 
 ẩn với thực tiễn. 
 Biểu đồ 1.4. 
 Mối liên hệ giữa chủ đề hệ BPT bậc nhất hai ẩn với thực tiễn 
 0%
 Mức độ Số HS 20.94%
 Có nhiều 140 
 Có vừa 60 53.34%
 Có ít 53 23.72%
 Không có 0 
 Có nhiều Có vừa Có ít Không có
 Tổng số 253 
 (5) Thống kê ý kiến của HS về mức độ khó khăn trong việc ứng dụng hệ 
 BPT bậc nhất hai ẩn vào giải các bài toán thực tiễn. 
 13 (7) Thống kê ý kiến của của GV về mức độ thường xuyên quan tâm đến 
việc đưa những tình huống thực tiễn hay bài toán thực tiễn vào dạy học toán học. 
 Biểu đồ 1.7. 
 Thống kê ý kiến của của GV về mức độ thường xuyên quan tâm đến việc đưa 
 những tình huống thực tiễn hay bài toán thực tiễn vào dạy học toán học 
 Mức độ Số HS 0%
 30%
 Rất thường xuyên 3 40%
 Thường xuyên 3 
 Thỉnh thoảng 4 
 30%
 Chưa bao giờ 0 Rất thường xuyên Thường xuyên
 Tổng số 10 Thỉnh thoảng Chưa bao giờ
 (8) Thống kê ý kiến của GV về dạy học thông qua MHH. 
 Biểu đồ 1.8. 
 Thống kê ý kiến của GV về dạy học thông qua MHH 
 10%
 Mức độ Số HS 
 10%
 Rất thường xuyên 1 40%
 Thường xuyên 1 
 Thỉnh thoảng 4 40%
 Chưa bao giờ 4 
 Rất thường xuyên Thường xuyên
 Tổng số 10 Thỉnh thoảng Chưa bao giờ
 Dựa vào thống kê trên, chúng tôi thấy phần lớn GV chưa chủ động, tích cực 
vận dụng MHH toán học trong dạy học 
 (9) Thống kê về tầm quan trọng của việc phát triển năng lực MHH cho HS. 
 Biểu đồ 1.9. 
 Thống kê về tầm quan trọng của việc phát triển năng lực MHH cho HS 
 Mức độ Số HS 10% 0%
 Rất quan trọng 7 20%
 Quan trọng 2 
 Bình thường 1 70%
 Không quan trọng 0 
 Tổng số 10 Rất quan trọng Quan trọng
 Bình thường Không quan trọng 
 15