Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh Lớp 9 rèn kỹ năng giải phương trình nghiệm nguyên

 1 
1. PHẦN MỞ ĐẦU 
 1.1. Lý do chọn đề tài 
 Trong chương trình môn toán trung học cơ sở, phương trình đóng một vai 
trò rất quan trọng. Một trong những đặc điểm nổi bậc của môn toán lớp 9 
trong việc bồi dưỡng học sinh thi vào 10 và thi học sinh giỏi đó là kiến thức 
về phương trình, trong đó có phương trình nghiệm nguyên. 
 Phương trình nghiệm nguyên là một đề tài lí thú của Số học và Đại số, đã 
lôi cuốn nhiều người. Ngoài phương trình bậc nhất hai ẩn, các phương trình 
nghiệm nguyên thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán, với 
điều kiện riêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có tác 
dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế 
mà các phương trình tìm nghiệm nguyên thường có mặt trong các kì thi vào 
lớp 10, thi học sinh giỏi về môn toán ở lớp 9. 
 Qua nhiều năm giảng dạy môn toán ở khối lớp 9 và bồi dưỡng đội tuyển 
học sinh giỏi môn toán 9 tại trường THCS An Hải, tôi nhận thấy rằng học 
sinh rất ngại làm các dạng bài tập về phương trình, đặc biệt là phương trình 
tìm nghiệm nguyên. Nguyên nhân là do các em chưa nắm vững kiến thức về 
giải phương trình tìm nghiệm nguyên. Bên cạnh đó các chuyên đề, giải pháp 
đưa ra nhằm giúp các em làm các dạng bài tập về phương trình nói chung và 
phương trình tìm nghiệm nguyên nói riêng vẫn chưa đạt được một cách hiệu 
quả cao. Trong khi đó, bắt đầu từ năm học 2021 – 2022 các em học sinh lớp 9 
trên địa bàn huyện, sau khi tốt nghiệp xong muốn vào trường công lập thì 
phải thi tuyển vào 10. 
 Xuất phát từ những lí do trên, tôi quyết định chọn làm sáng kiến 
“ Giúp học sinh lớp 9 rèn kỹ năng giải phương trình nghiệm nguyên ” nhằm 
với mục đích giúp các em có được phương pháp đúng đắn khi giải phương 
trình nghiệm nguyên, đồng thời cũng giúp các em có thêm tài liệu để ôn luyện 
thi vào 10, cũng như tham gia các kỳ thi học sinh giỏi các cấp đạt kết quả cao 
hơn. 
 1.2. Mục đích, nhiệm vụ của sáng kiến. 
 3 
 2.1.Thời gian thực hiện: Sáng kiến được thực hiện trong năm học 2022-
2023 là từ tháng 10 năm 2022 đến tháng 03 năm 2023. 
 2.2. Đánh giá thực trạng của sáng kiến khi áp dụng vào thực tế. 
 2.2.1. Kết quả đạt được: 
 Khi chưa áp dụng sáng kiến này vào công tác giảng dạy, tôi đã thực hiện 
việc khảo sát môn toán ở một số lớp của khối lớp 9 và đội tuyển học sinh giỏi 
trong đầu học kì I của năm học 2022 - 2023. Kết quả cho thấy số lượng học 
sinh yếu, kém trong việc giải phương trình chiếm tỉ lệ khá cao. Đa phần 
những em học sinh này đều không làm được các bài tập liên quan đến giải 
phương trình, đặc biệt là phương trình nghiệm nguyên. 
 Sau khi áp dụng sáng kiến vào công tác giảng dạy. Tôi thấy học sinh tiếp 
nhận kiến thức một cách thoải mái, chủ động, rõ ràng. Các em đã nhận dạng 
được các bài toán liên quan đến phương trình nghiệm nguyên một cách nhanh 
chóng, từ đó đã giải được hầu hết các dạng bài tập liên quan đến phương trình 
nghiệm nguyên, xóa đi cảm giác khó và phức tạp ban đầu không có phương 
pháp giải cụ thể. 
 2.2.2. Những mặt còn hạn chế: 
 Qua quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy vẫn còn tồn tại học sinh yếu trong 
tính toán, kĩ năng quan sát, nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán. Một số 
phụ huynh vẫn chưa thực sự quan tâm đến việc học của con em. Nên khi áp 
dụng sáng kiến vào giảng dạy gặp rất nhiều khó khăn. Các em vẫn chưa phát 
huy hết kết quả mà sáng kiến mang lại. 
 2.2.3. Nguyên nhân đạt được và nguyên nhân hạn chế của sáng kiến. 
 - Nguyên nhân đạt được 
 + Luôn được sự quan tâm của lãnh đạo Phòng Giáo dục và Đào tạo, 
Ban giám hiệu nhà trường trong phong trào thi học sinh giỏi, thi giáo viên dạy 
giỏi; phong trào phụ đạo học sinh lớp 9; chỉ đạo công tác giáo dục sát với tình 
hình của lớp, của trường. 
 + Sự giúp đỡ, đoàn kết, phối hợp của đồng nghiệp hai trường trung học 
cơ sở trên địa bàn huyện; hợp tác của học sinh và phụ huynh trong dạy học. 
 5 
 Trong hoạt động giáo dục hiện nay đòi hỏi học sinh cần phải tự học, 
tự nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành 
quá trình tự giáo dục. Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng 
tạo, tư duy khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã 
hội. 
 Một trong những phương pháp để học sinh đạt được điều đó đối với 
môn Toán, đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một lượng kiến thức 
các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan. Để làm được như vậy 
thì giáo viên cần gợi lên sự say mê học tập, tự nghiên cứu, đào sâu kiến thức 
của các em học sinh. Dạng toán về phương trình nghiệm nguyên là một dạng 
toán khó và rất quan trọng của môn đại số và số học, đặc biệt phương trình 
nghiệm nguyên còn là một chuyên đề không thể thiếu của học sinh lớp 9 trong 
các cuộc thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10, nó còn là nền tảng làm cơ 
sở để học sinh học tiếp các chương trình sau này khi chuyển cấp. 
 Về cơ sở vật chất của nhà trường thì đảm bảo cho việc giảng dạy, Ban 
giám hiệu nhà trường thì luôn quan tâm tạo điều kiện cho giáo viên trong việc 
giảng dạy. Tuy nhiên do thuộc khu vực Hải Đảo nên một số phụ huynh vẫn 
chưa quan tâm lắm đến việc học của con em, vẫn còn nhiều học sinh chưa yêu 
thích môn toán vì thấy khó và nhất là cảm thấy khó trong các bài toán giải 
phương trình nghiệm nguyên. 
 Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải được các dạng toán về 
phương trình nghiệm nguyên một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu 
quả cao, đặc biệt là đội tuyển học sinh giỏi lớp 9. Để thực hiện tốt điều này, 
giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, 
đánh giá bài toán, đặc biệt kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán trong 
quá trình áp dụng sáng kiến, tuỳ theo từng đốí tượng học sinh mà xây dựng 
cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải 
khác, để giúp học sinh học tốt. 
 3.2. Nội dung, giải pháp và cách thức thực hiện 
 3.2.1. Nội dung, phương pháp: 
 7 
a. Phương pháp giải 
 + Nếu ƯCLN(a,b) = d và c  d thì phương trình (*) vô nghiệm. 
 + Nếu ƯCLN(a ,b) = d và c d thì phương trình (*) có nghiệm nguyên và 
nghiệm được xác định là 
 x = x0 + bt
 y = y0 − at
 Trong đó t Z và (x0 ; y0) là một nghiệm riêng của phương trình (*) 
Hệ quả: Nếu ƯCLN(a, b) = 1 thì phương trình (*) luôn có nghiệm nguyên. 
* Cách tìm nghiệm riêng (x0 ; y0) của phương trình ax + by = c (*) 
 - Trước tiên ta tìm nghiệm riêng của phương trình ax + by = 1 với (a, b) = 1. 
 Dùng thuật toán ơclit cho a và b, ta có: 
 a = b.q 01+ r 
 b = r1. q 1+ r 2 
 ..... 
 rk−1 =+ r k.1 q k 
 Lấy các thương số trong dãy phép chia của thuật toán 
 Tính: 
 1 p
 mq= + =
 0 1 
 q + q
 1 1
 q +
 2 1
 ...+
 qk
 xp0 = xq0 =
Khi đó nghiệm riêng của ax + by = 1 thỏa: hoặc 
 yq0 = yp0 =
Thử từng trường hợp để xác định dấu của x0 , y0 
- Cuối cùng (cx0 ,cy0) là nghiệm riêng của phương trình (*) 
b. Các ví dụ minh họa 
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 5x – 7y = 3 
 Hướng dẫn 
 Trước hết ta tìm nghiệm riêng của 5x – 7y = 1 
 9 
 52n +
 Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên n để là số tự nhiên. 
 17
 Đáp án: n = -14 + 17t với t N* 
 Dạng 2. Phương trình axy + bx + cy – d = 0 
 (Với a, b, c, d là các số nguyên) 
a. Phương pháp giải 
 Để giải phương trình dạng này, ta thường sử dụng các phương pháp sau : 
 - Phương pháp 1 : Đưa về phương trình ước số 
 Ta biến đổi phương trình sao cho vế trái là 1 tích các thừa số nguyên, vế 
phảii là một hằng số nguyên. Bằng cách tìm ước của hằng số đó, ta tìm được 
nghiệm nguyên của phương trình đã cho. 
 - Phương pháp 2 : Biểu thị một ẩn theo ẩn còn lại rồi dùng tính chất chia hết. 
b. Ví dụ minh họa 
 Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 
 2xy – x + y = 3 
 Hướng dẫn 
Ta có : 2xy – x + y = 3  4xy – 2x + 2y = 6 
  2x(2y – 1) + (2y – 1) = 5 
  (2y – 1)(2x + 1) = 5 
 Ta xét các trường hợp sau 
 2yy− 1 = 1 = 1 2yy− 1 = 5 = 3
 T/H1 : ; T/H2 : 
 2xx+ 1 = 5 = 2 2xx+ 1 = 1 = 0
 2yy− 1 = − 1 = 0 2yy− 1 = − 5 = − 2
 T/H3 : ; T/H4 : 
 2xx+ 1 = − 5 = − 3 2xx+ 1 = − 1 = − 1
Vậy phương trình có các nghiệm (x ; y) là : (2 ; 1) ; (0 ; 3) ; (-3 ; 0) ; (-1 ; -2). 
Ví dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau 
 6x + 5y + 18 = 2xy (đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi năm 2012) 
 Hướng dẫn 
 Ta có: 6x+ 5 y + 18 = 2 xy 2xy - 6x - 5y = 18 
 2xy - 6x + 15 - 5y = 33 
 2x(y – 3) – 5(y – 3) = 33 
 11 
a.Phương pháp giải 
 Để giải phương trình dạng này, ta thường sử dụng các phương pháp sau : 
 - Phương pháp 1 : Xét số dư của từng vế. Khi đó, chúng ta sẽ xét hai vế 
của phương trình khi chia cho cùng một số để tìm số dư. 
 - Phương pháp 2 : Dùng tính chia hết, chẵn lẽ. 
b. Kiến thức liên quan 
 Để sử dụng được các phương pháp trên, tôi đã ôn lại cho học sinh một số 
kiến thức sau : 
 * Phép Chia hết. 
 - Định nghĩa: 
 Với a, b (b 0)  q, r sao cho a =bq + r với 0 r < b 
 + Nếu r = 0 a b 
 + Nếu r 0 a b 
 - Tính chất 
 + Nếu ab và bc thì a c 
 + Nếu a+ b m và a m thì bm 
 + Nếu và ab. m thì a m hoặc bm 
 + Nếu ; ac và ƯCLN(b, c) = 1 thì a bc 
 + Nếu a.b m , m là số nguyên tố thì a m hoặc b m. 
 + Nếu ab c và ƯCLN(c, b) = 1 thì a c 
 + Nếu p là số nguyên tố và an p a p 
 + Tích 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2. 
 + Tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. 
 + Tích 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho 24. 
 + Tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120. 
 * Đồng dư thức 
 - Định nghĩa 
 Cho số nguyên m > 0. Nếu hai số nguyên a và b có cùng số dư khi chia 
cho m thì ta nói a đồng dư với b theo modun m. Kí hiệu ab (mod m). 
 Ví dụ: 16  11 (mod 5) 
 13 
 => mn 1, 1 . Vì m, n Z nên chọn được mn==1, 1 
Khi đó phương trình 13mn22+= 7 20 có 4 nghiệm là 
 m = 1 m =1 m =−1 m =−1
 ; ; và 
 n = 1 n =−1 n =1 n =−1
Thay các giá trị vào trên, ta có phương trình đã cho có 4 nghiệm (x ; y) là : 
(13 ; 7) ; (13 ; -7) ; (-13 ; 7) ; (-13 ; -7). 
Ví dụ 3.Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên. 
 a/ 3xy22−= 4 13 b/ 7xy22+= 12 2013 
 Hướng dẫn 
 a/ Ta có : x 2 chia 4 dư 0 hoặc 1. Suy ra : 3x2 chia 4 dư 0 hoặc 3 
 Khi đó vế trái của phương trình là 34xy22− chia 4 sẽ dư 0 hoặc 3 (vì 44y2 ) 
 Mặt khác vế phải là 13 chia 4 dư 1 
 Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. 
b/ Ta có : chia 4 dư 0 hoặc 1. Suy ra : 7x2 chia 4 dư 0 hoặc 3. 
 Khi đó vế trái của phương trình là 7xy22+ 12 chia 4 sẽ dư 0 hoặc 3 (vì 12y2 4 ) 
 Mặt khác vế phải là 2013 chia 4 dư 1 
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên. 
d. Bài tập tương tự 
 Bài 1 : Tìm các cặp số nguyên dương (x ; y) thỏa mãn phương trình 
 a/ 6xy22+= 5 74 ; b/ 6xy22+= 7 229 
 Đáp án : a/ (x ; y) = (3 ; 2) ; b/ (x ; y) là (3 ; 5) ; (3 ; -5); (-3 ; 5) ; (-3 ; -5) 
Bài 2 : Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm nguyên. 
 a/ 7xy22−= 24 41 ; b/ 7xy22−= 5 3 ; c/ 2xy22+= 1007 
 Dạng 4. Phương trình ax2 + by2 + cx + d = 0 hoặc ax2 + by2 + cy + d = 0 
 (Với a, b, c, d là các số nguyên) 
a. Phương pháp giải 
 Để giải các phương trình dạng này, ta thường sử dụng các phương pháp sau: 
 - Phương pháp 1 : Đưa về phương trình ước số 
 - Phương pháp 2 : Tạo ra bình phương đúng, rồi dùng tính chất chia hết. 
 15 
 Dạng 5. Phương trình ax2 + by2 + cxy + d = 0 
 (Với a, b, c, d là các số nguyên) 
a/ Phương pháp giải 
 Để giải các phương trình dạng này, ta thường sử dụng các phương pháp 
như : Phương pháp đưa về phương trình ước số, phương pháp đưa về tổng 
các số chính phương,... 
b/ Các ví dụ minh họa 
 Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
 a/ 5x2 – y2 + 4xy – 9 = 0 ; b/ x22−4 xy + 5 y = 34 
 Hướng dẫn 
a/ Ta có : 5x2 – y2 + 4xy – 9 = 0  5x2 + 5xy – xy – y2 = 9 
  5x(x + y) – y(x + y) = 9 
  (x + y)(5x – y) = 9 
x + y và 5x – y là ước của 9 nên ta có bảng giá trị sau : 
 x + y 1 3 9 -1 -3 -9 
 5x – y 9 3 1 -9 -3 -1 
 6x 10 6 10 -10 -6 -10 
 x loại 1 loại loại -1 loại 
 y 2 -2 
Vậy nghiệm nguyên (x ; y) của phương trình là (1 ; 2), (-1 ; -2). 
b/ Ta có : x22−4 xy + 5 y = 34  (x− 2 y )2 + y 2 = 3 2 + 5 2 
Ta xét các trường hợp sau 
 x – 2y 3 3 -3 -3 5 5 -5 -5 
 y 5 -5 5 -5 3 -3 3 -3 
 x 13 -7 7 -13 11 -1 1 -11 
 Vậy phương trình có 8 nghiệm (x ; y) là : (13 ; 5), (-7 ; -5) ; (7 ; 5) ; 
(-13 ; -5) ; (-11 ; 3) ; (-1 ; -3) ; (1 ; 3) ; (-11 ; -3). 
c. Bài tập tương tự 
 Bài 1. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau 
 17 
 Hướng dẫn 
Ta có : x2 + y2 = 5(x – y)  x2 + y2 – 5x + 5y = 0 
  4x2 – 20x + 4y2 + 20y = 0 
  (4x2 – 20x + 25) + (4y2 + 20y + 25) = 50 
  (2x – 5)2 + (2y + 5)2 = 72 + 12 
 Ta xét được các trường hợp sau : 
 2x – 5 7 -7 7 -7 1 1 -1 -1 
 2y + 5 1 1 -1 -1 7 -7 7 -7 
 x 6 -1 6 -1 3 3 2 2 
 y -2 -2 -3 -3 1 -6 1 -6 
Vậy nghiệm nguyên (x ; y) của phương trình là : (6 ; -2) ; (-1 ; -2) ; (6 ; -3) ; 
(-1 ; -3) ; (3 ; 1) ; (3 ; -6) ; (2 ; 1) ; (2 ; -6). 
c. Bài tập tương tự 
 Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau : 
 a/ x2 + y2 – 2x – 6y + 10 = 0 ; b/ x2 + y2 – x – y - 8 = 0 
Đáp án : a/ Nghiệm (x ; y) là (1 ; 3) 
 b/ Nghiệm (x ; y) là (1;8), (1;-2), (-2;8), (-2; -2), (2;6), (2;0), (-3;6), (-3;0) 
 Dạng 7. Phương trình ax2 + by2 + cxy + dx + ey + g = 0 
 (Với a, b, c, d, e, g Z) 
a. Phương pháp giải 
 Để giải các phương trình dạng này, ta thường sử dụng các phương pháp 
như : Phương pháp đưa về tổng các số chính phương, phương pháp đưa về 
phương trình ước số,... 
b. Ví dụ minh họa 
 Ví dụ 1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau: 
 x22+2 y − 3 xy + 2 x − 4 y + 3 = 0 
 (đề thi HSG tỉnh Quảng Ngãi năm 2016) 
 Hướng dẫn 
 19 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x ; y) là (0 ; -1), (1 ; -1), (0 ; -2) 
c. Bài tập tương tự 
 Bài tập : Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau 
 a/ x2 + 2y2 + 3xy – x – y + 3 = 0 ; b/ 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0 
 Đáp án : a/ Nghiệm nguyên (x ; y) là (-8 ; 5) , (-6 ; 5), (6 ; -3), (4 ; -3) 
 b/ Nghiệm nguyên (x ; y) là (2 ; -4), (-2 ; 2) 
 Dạng 8. Phương trình mũ 
a. Phương pháp giải 
 Để giải các phương trình dạng này, ta thường sử dụng các phương pháp 
như : Phương pháp sử dụng tính chia hết, phương pháp xét số dư của từng 
vế,... 
b. Ví dụ minh họa 
 Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 
 7x + 49y = 644 
 (Đề thi HSG cấp huyện Lý Sơn năm học 2020 – 2021) 
 Hướng dẫn 
Ta có 49y 7 và 644 7 nên 7x 7 => x > 0 
Chia hai vế cho 7, ta được 7x – 1 + 7y = 92 
Vì 92 7 nên 7x – 1 + 7y 7 khi 7x – 1 7 hay 7x – 1 = 1 
Suy ra : x – 1 = 0 => x = 1 
Với x = 1 thay vào phương trình 7x – 1 + 7y = 92 , ta được y = 13 
Vậy nghiệm nguyên dương là (x ; y) = (1 ; 13). 
Ví dụ 2 : Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 
 5x + 48 = y2 
 Hướng dẫn 
Vì x, y là các số tự nhiên nên ta xét các trường hợp sau : 
 - Xét x = 0. Khi đó phương trình trở thành y2 = 49 nên y = 7 
 - Xét x 1 thì vế trái có chữ số tận cùng bằng 3. Trong khi đó vế phải y2 là 
một số chính phương không có chữ số tận cùng là 3.